Question

已知函數f（x）=2^x+1定義在R上．
（1）若f（x）可以表示為一個偶函數g（x）與一個奇函數h（x）之和，求函數g（x），h（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），設h（x）=t，把F（x）表示為t的函數p（t）；
（3）若關于x的方程F（x）=m²-m+2在x∈[1，2]上有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先假設滿足條件，利用奇（偶）函數的關系式和方程思想，求出兩個函數的解析式，再由條件證明對應函數的奇偶性，最后把函數f（x）的解析式代入求解；
（2）把2x-

1

2x

=t兩邊平方后整體代入g（2x）進行化簡，再代入函數F（x）解析式進行化簡；
（3）根據h（x）在所給區間上的單調性，求出t的范圍，由（2）求出的解析式對F（x）=m²-m+2進出化簡，求出m關于t的關系式，再由t的范圍和函數的單調性，求出對應函數的值域，即m的取值范圍．

解答：解：（1）假設f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函數，h（x）為奇函數，
則有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①、②解得g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

．（2分）
∵f（x）定義在R上，∴g（x），h（x）都定義在R上．
∵g(-x)=

f(-x)+f(x)

2

=g(x)，h(-x)=

f(-x)-f(x)

2

=-h(x)．
∴g（x）是偶函數，h（x）是奇函數，
把f（x）=2^x+1代入求得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

=

2x+1+2-x+1

2

=2x+

1

2x

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

=

2x+1-2-x+1

2

=2x-

1

2x

．（6分）
（2）由2x-

1

2x

=t，則t∈R，平方得t2=(2x-

1

2x

)2=22x+

1

22x

-2，
∴g(2x)=22x+

1

22x

=t2+2，代入F（x）的解析式得，
p（t）=t²+2mt+m²-m+1．（10分）
（3）∵t=h（x）=2x-

1

2x

在區間[1，2]上單調遞增，∴

3

2

≤t≤

15

4

．（12分）
由F（x）=m²-m+2得t²+2mt-1=0
∴m=

1

2

(

1

t

-t)，令?（t）=

1

2

(

1

t

-t)(t∈[

3

2

，

15

4

])
由題意得，m的取值范圍就是函數?（t）的值域．（14分）
∵

1

t

，-t在t∈[

3

2

，

15

4

]上均為減函數，
故?（t）在t∈[

3

2

，

15

4

]上單調遞減，而?(

3

2

)=-

5

12

?(

15

4

)=-

209

120

，
∴函數?（t）的值域為[-

209

120

，-

5

12

]
即m的取值范圍為[-

209

120

，-

5

12

]（16分）

點評：本題是有關函數奇偶性和單調性應用的綜合題，利用函數奇偶性的關系式列出方程求出兩個函數的解析式，求函數的值域主要利用函數在區間上的單調性進行求解，考查了分析問題和解決問題的能力．