Question

（2012•紹興一模）定義運算a*b=

a (a≤b) b (a＞b)

，例如，1*2=1，則函數f（x）=x²*（1-|x|）的最大值為

3- 5

2

．

Answer 1

分析：分析：根據定義a*b=

a (a≤b) b (a＞b)

化簡函數f（x）=x²*（1-|x|）為分段函數f(x)=

x2(x2≤1-|x|) 1-|x|(x2＞1-|x|)

，為了計算的方便則令t=|x|化簡成關于t的分段函數f(t)=

t2(t2≤1-t) 1-t(t2＞1-t)

，根據函數的單調性求其最大值即可．

解答：解：由題意知
∵a*b=

a (a≤b) b (a＞b)

∴函數f（x）=x²*（1-|x|）可化簡為：f(x)=

x2(x2≤1-|x|) 1-|x|(x2＞1-|x|)

令t=|x|得：f(t)=

t2(t2≤1-t) 1-t(t2＞1-t)

∴要求原分段函數的最大值，只需求f(t)=

t2(t2≤1-t) 1-t(t2＞1-t)

的最大值
即：f(t)=

t2(0≤ t≤ -1+ 5 2 ) 1-t(t＞ -1+ 5 2 )

又∵函數f（t）在區間[0，

-1+ 5

2

]上單調遞增函數，在區間（

-1+ 5

2

，+∞）上單調遞減函數，
∴f（t）的最大值在t=

-1+ 5

2

時取得，即f(t)max=f(

-1+ 5

2

)=

3- 5

2

故答案為：

3- 5

2

．

點評：本題主要考查兩點，一點是對新定義的理解，二點是利用函數單調性求分段函數的最值，屬于中檔題型．