Question

如圖所示，橢圓中心在原點，F是左焦點，直線AB₁與BF交于D，且∠BDB₁=90°，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3 -1

  2

• B．

  5 -1

  2

• C．

  5 -1 2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：確定直線AB₁的斜率、直線BF的斜率，可得斜率的積為-1，由此可求橢圓的離心率．

解答：解：設左頂點A（-a，0），左焦點F（-c，0），上頂點B₁（0，b），下頂點B（0，-b）
則直線AB₁的斜率為

b

a

，直線BF的斜率為-

b

c

因為∠BDB₁=90°，直線AB₁與直線BF交于D，所以AB₁⊥BF
所以

b

a

•(-

b

c

)=-1
所以b²=ac
又因為a²=b²+c²，所以a²=ac+c²，
所以e²+e-1=0
所以e=

-1± 5

2

因為0＜e＜1，所以e=

5 -1

2

故選B．

點評：本題考查橢圓的性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．