Question

已知函數f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）證明：f（x）在R上單調增；
（2）判斷f（x）與f（-x）的關系，若對任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2kt）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）=1-

2

2x+1

，利用函數單調性的定義即可證明；
（2）由定義可判斷f（x）為奇函數，利用函數的奇偶性及單調性可去掉不等式中的符號“f”，從而轉化為具體不等式恒成立問題，
進而轉化為函數最值問題即可解決．

解答：解：（1）f（x）=1-

2

2x+1

，
在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
因為x₁＜x₂，所以0＜2x1＜2x2，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上單調遞增．
（2）f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
即f（x）=-f（-x），
不等式f（t²-2kt）+f（2t²-k）＞0可化為f（2t²-k）＞-f（t²-2kt），即f（2t²-k）＞f（2kt-t²），
又f（x）在R上單調遞增，所以2t²-k＞2kt-t²，即3t²-2kt-k＞0，
則問題轉化為不等式3t²-2kt-k＞0在t∈[1，3]上恒成立，也即k＜

3t2

2t+1

在t∈[1，3]上恒成立，
令g（t）=

3t2

2t+1

t∈[1，3]，則g′（t）=

6t2+6t

(2t+1)2

＞0，
所以g（t）在[1，3]上單調遞增，g（t）_min=g（1）=1，
所以k＜1，即k的取值范圍是（-∞，1）．

點評：本題考查函數的單調性、奇偶性的判斷及不等式恒成立問題，對不等式恒成立問題往往轉化為函數最值問題加以解決．