Question

【題目】已知正項數列的前項和為，對任意，點都在函數的圖象上．

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列，求數列的前項和；

（3）已知數列滿足，若對任意，存在使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由題意可得，由時，時，，結合等比數列的定義和通項公式，可得所求；
（2）求得，運用數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，化簡可得所求和；
（3）求得，可令為數列的前項和，運用數列的分組求和和裂項相消求和可得，分別求得，的最大值，由不等式恒成立和存在性問題解法可得的范圍.

解：（1）點都在函數的圖象上，

可得，

時，，解得；

時，，

化為，可得，對也成立，

則；

（2），

前項和，

，

相減可得

，

化為；

（3）由，可令為數列的前n項和，

可得

，

由時，，即有，

可得，

又時，的最大值為，

對任意，存在使得成立，

則，解得.