Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知是橢圓上的一點，從原點向

圓作兩條切線，分別交橢圓于點．

（1）若點在第一象限，且直線互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線的斜率存在，并記為，求的值；

（3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由圓的方程可知，圓的半徑，，由此可求出圓的方程；（2）由已知得直線和都與圓相切，化簡可得，再利用點在橢圓上，即可求解的值；（3）當直線不落在坐標軸上時，設，利用直線方程與橢圓的方程聯立方程組，得出，同理，由此可求解為定值．

試題解析：（1）由圓的方程知圓的半徑，因為直線，互相垂直，且和圓相切，所以，即 ①

又點在橢圓上，所以 ②

聯立①②，解得，所以，所求圓的方程為．

（2）因為直線和都與圓相切，所以，，化簡得，因為點在橢圓上，所以，即，所以．

（3）方法一（1）當直線，不落在坐標軸上時，設，，

由（2）知，所以，故．因為，在橢圓上，所以，，

即，，所以，

整理得，所以

所以．

方法（二）（1）當直線，不落在坐標軸上時，設，，

聯立，解得，，所以，

同理，得．由（2），得，

所以

．

（2）當直線，落在坐標軸上時，顯然有．

綜上：．