Question

【題目】已知函數，．

（1）求函數的單調區間；

（2）設圖象在點處的切線與的圖象相切，求的值；

（3）若函數存在兩個極值點，，且，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）或（3）

【解析】

（1）先對求導，令導數大于0，求出在定義域內的單調遞增區間，導數小于0，在定義域內求出函數的單調遞減區間；

（2）由題意求出在處的切線方程，與函數聯立得關于的二次方程，用判別式等于求出的值；

（3）求的導數，令，由題意得方程有兩個不等的實數根，求出兩根之和及兩根之積，且求出函數的單調區間，求出的表達式用一個自變量表示，再構造函數，求導求出的最大值．

（1）的定義域為，，

由，有，由，有，

∴的單調遞減區間為，單調遞增區間為．

（2）由（1）及題意，易得圖象在點處的切線斜率為，

則該切線方程為，

聯立，消去整理得：，

由解得或．

（3）∵，，，

設，

由（1）知函數的兩個極值點，滿足，

則，，

不妨設，則在上是減函數，，

∴

令，則，

又，即，解得，

∴，∴．

設，則，

∴在上為增函數，

∴，即，

∴的最大值為．