Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 （a﹣ccosB）=bsinC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，則當a，b分別取何值時，△ABC的面積取得最大值，并求出其最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ （a﹣ccosB）=bsinC，由正弦定理可得： （sinA﹣sinCcosB）=sinBsinC，

化為： [sin（B+C）﹣sinCcosB]= sinBcosC=sinBsinC，

∵sinB≠0，

∴tanC= ，

∵C∈（0，π），

∴C= ．

（2）解：c=2，C= ，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos ，

∴4≥2ab﹣ab=ab＞0，當且僅當a=b=2時取等號．

又S△ABC= sin = ab≤ ，當且僅當a=b=2時取等號

【解析】（1） （a﹣ccosB）=bsinC，由正弦定理可得： （sinA﹣sinCcosB）=sinBsinC，由sinB≠0，展開可得tanC= ，即可得出．（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos ，再利用基本不等式的性質可得：4≥ab＞0，S△ABC= sin = ab即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦定理的定義的相關知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．