Question

【題目】正方體棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的周長(zhǎng)為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

作出圖形，連接、、、，證明出平面，設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的平面為平面，可得出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)定理找出平面截正方體所成的截面圖形，計(jì)算出其周長(zhǎng)即可得解.

連接、、、，如下圖所示：

四邊形是正方形，則，

在正方體中，平面，平面，，

，平面，平面，，

同理可證，，平面，

設(shè)過點(diǎn)且與垂直的平面為平面，若，則平面。

則點(diǎn)的軌跡為平面與正方體各面的交線，

設(shè)，，

平面，平面，平面平面，

平面平面，平面平面，，

為的中點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，同理可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，

所以，點(diǎn)的軌跡為的三條邊，

由勾股定理得，同理，

因此，點(diǎn)的軌跡的周長(zhǎng)為.

故選：C.