Question

【題目】已知函數，其中．

（1）求的單調區間；

（2）若對任意的，總存在，使得，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）詳情見解析；（2）．

【解析】

（1）對原函數求導，再分類討論當與時導函數正負是x的取值范圍，即原函數的單調區間；

（2）分類討論實數a在區間左邊，內部和右邊三種情況，其中在且時，表示出函數的最大值發現此時不滿足題設要求；當時，取特殊的，對，由此時的最大值發現此時不滿足題設要求；當時，令，對任意的，總存在，使得，分析了單調性之后發現其等價于，從而構造不等式組求得答案.

（1）∵，，

當時，對，，

所以的單調遞減區間為．

當時，令，得，

∵時，，時，，

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為

綜上所述，時，的單調遞減區間為；時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）討論：

①當且時，由（1）知，在上單調遞減，則，

因為對任意的，總存在，使得，

所以對任意的，不存在，使得

②當時，由（1）知，在上是增函數，在上是減函數，

則

因為對，對，

所以對，不存在，使得

③當時，令，

由（1）知，在是增函數，進而知是減函數，

所以，，

，

因為對任意的，總存在，使得，

即，故有，即，

所以，解得，綜上，的值為．