Question

【題目】2020年初全球爆發了新冠肺炎疫情，為了防控疫情，某醫療科研團隊攻堅克難研發出一種新型防疫產品，該產品的成本由原料成本及非原料成本組成，每件產品的非原料成本y（元）與生產該產品的數量x（千件）有關，根據已經生產的統計數據，繪制了如下的散點圖.

觀察散點圖，兩個變量不具有線性相關關系，現考慮用函數對兩個變量的關系進行擬合.參考數據（其中）：

0.41	0.1681	1.492	306	20858.44	173.8	50.39

（1）求y關于x的回歸方程，并求y關于u的相關系數（精確到0.01）.

（2）該產品采取訂單生產模式（根據訂單數量進行生產，即產品全部售出）.根據市場調研數據，若該產品單價定為80元，則簽訂9千件訂單的概率為0.7，簽訂10千件訂單的概率為0.3；若單價定為70元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產品的原料成本為30元，根據（1）的結果，要想獲得更高利潤，產品單價應選擇80元還是70元，請說明理由.

參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，，相關系數.

Answer 1

【答案】（1），0.96；（2）單價應選擇80元，理由見解析

【解析】

（1）令，則可轉化為，求得，，，可求得回歸方程和線性相關系數.

（2）求出產品單價為80元，記企業利潤為X（元），企業利潤X（元）的分布列和利潤的期望，產品單價為70元，記企業利潤為Y（元），企業利潤Y（元）的分布列和利潤的期望，比較可得出選擇.

（1）令，則可轉化為，

因為，

所以，

則，

所以，

因此y關于x的回歸方程為；

y與u的相關系數為：

，

（2）法一：（i）若產品單價為80元，記企業利潤為X（元），

訂單為9千件時，每件產品的成本為元，

企業的利潤為（元），

訂單為10千件時，每件產品的成本為元，

企業的利潤為（元），

企業利潤X（元）的分布列為

X	260000	300000
P	0.7	0.3

所以（元）；

（ii）若產品單價為70元，記企業利潤為Y（元），

單為10千件時，每件產品的成本為元，

企業的利潤為（元），

訂單為11千件時，每件產品的成本為元，

企業的利潤為（元），

企業利潤Y（元）的分布列為

Y	200000	230000
P	0.3	0.7

所以（元），

又∵，故企業要想獲得更高利潤，產品單價應選擇80元.

法二：（i）若產品單價為80元，記企業的產量為X（千件），其分布列為

Y	9	10
P	0.7	0.3

所以

企業的利潤為：

（ii）若產品單價為70元，記企業的產量為Y（千件），其分布列為

X	10	11
P	0.3	0.7

所以

企業的利潤為：

又∵,

故企業要想獲得更高利潤，產品單價應選擇80元.