Question

【題目】如圖1，在等腰中，，，分別為，的中點，為的中點，在線段上，且。將沿折起，使點到的位置（如圖2所示），且。

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點，連接，根據條件證明，即；

（2）以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點，連接.

∵，∴為的中點.

又為的中點，∴.

依題意可知，則四邊形為平行四邊形，

∴，從而.

又平面，平面，

∴平面.

（2），且，

平面，平面，

，

，且，

平面，

以為原點，所在直線為軸，過作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，不妨設，

則，，，，，

，，，.

設平面的法向量為，

則，即，

令，得.

設平面的法向量為，

則，即，

令，得.

從而，

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.