Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）.

(1)求函數的極值；

(2)問：是否存在實數,使得有兩個相異零點？若存在,求出的取值范圍；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ①當時，函數無極值.②當時,函數有極小值為,無極大值；(2)存在,

【解析】

(1)對函數求導,根據的不同取值范圍,進行分類討論,求出函數的極值；

(2)根據的不同取值范圍,進行分類討論,結合、函數的極值的大小、(1)中的結論,最后求出的取值范圍.

解：(1)因為,所以.

①當時，，

所以時,,所以函數在上單調遞減.

此時，函數無極值.

②當時,令，得,

當時,,所以函數在上單調遞減；

當時,,所以函數在上單調遞增.

此時,函數有極小值為,無極大值.

(2)存在實數,使得有兩個相異零點.

由(1)知：①當時,函數在上單調遞減；

又,所以此時函數僅有一個零點；

②當時，.

因為,則由（1）知；

取,令,

易得,所以在單調遞減,

所以,所以.

此時,函數在上也有一個零點.

所以,當時,函數有兩個相異零點.

③當時,,，

此時函數僅有一個零點.

④當時,,因為,則由(1)知；

令函數,易得,

所以,所以,即.

又,所以函數在上也有一個零點,

所以,當時,函數有兩個相異零點.

綜上所述,當時,函數有兩個相異零點.