Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，且點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過橢圓上異于其頂點的任意一點Q作圓的兩條切線，切點分別為不在坐標軸上），若直線在x軸，y軸上的截距分別為，證明：為定值；

（3）若是橢圓上不同兩點，軸，圓E過，且橢圓上任意一點都不在圓E內，則稱圓E為該橢圓的一個內切圓，試問：橢圓是否存在過焦點F的內切圓？若存在，求出圓心E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由焦點坐標確定出c的值，根據橢圓的性質列出a與b的方程，再將P點坐標代入橢圓方程列出關于a與b的方程，聯立求出a與b的值，確定出橢圓方程即可．

（2）由題意：確定出C1的方程，設點P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根據M，N不在坐標軸上，得到直線PM與直線OM斜率乘積為﹣1，確定出直線PM的方程，同理可得直線PN的方程，進而確定出直線MN方程，求出直線MN與x軸，y軸截距m與n，即可確定出所求式子的值為定值．

（3）依題意可得符合要求的圓E，即為過點F，P1，P2的三角形的外接圓．所以圓心在x軸上．根據題意寫出圓E的方程．由于圓的存在必須要符合，橢圓上的點到圓E距離的最小值是|P1E|，結合圖形可得圓心E在線段P1P2上，半徑最小．又由于點F已知，即可求得結論．

（1）∵橢圓C：的右焦點為F（1，0），且點P（1,）在橢圓C上；

∴，解得a＝2，b＝，

∴橢圓C的標準方程為．

（2）由題意：C1：，

設點P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），

∵M，N不在坐標軸上，∴kPM＝﹣＝﹣，

∴直線PM的方程為y﹣y2＝﹣（x﹣x2），

化簡得：x2x+y2y＝，①，

同理可得直線PN的方程為x3x+y3y＝，②，

把P點的坐標代入①、②得，

∴直線MN的方程為x1x+y1y＝，

令y＝0，得m＝，令x＝0得n＝，

∴x1＝，y1＝，

又點P在橢圓C1上，

∴（）2+3（）2＝4，

則＝為定值．

（3）由橢圓的對稱性，可以設P1（m，n），P2（m，﹣n），點E在x軸上，設點E（t，0），

則圓E的方程為：（x﹣t）2+y2＝（m﹣t）2+n2，

由內切圓定義知道，橢圓上的點到點E距離的最小值是|P1E|，

設點M（x，y）是橢圓C上任意一點，則|ME|2＝（x﹣t）2+y2＝，

當x＝m時，|ME|2最小，∴m＝﹣，③，

又圓E過點F，∴（﹣）2＝（m﹣t）2+n2，④

點P1在橢圓上，∴，⑤

由③④⑤，解得：t＝﹣或t＝﹣，

又t＝﹣時，m＝﹣＜﹣2，不合題意，

綜上：橢圓C存在符合條件的內切圓，點E的坐標是（﹣，0）．