Question

【題目】已知三棱柱中，，側面底面，是的中點，，.

（Ⅰ）求證：為直角三角形；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中點，連接，；易知為等邊三角形，從而得到，結合，可根據線面垂直判定定理得到平面，由線面垂直性質知，由平行關系可知，從而證得結論；（Ⅱ）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，根據空間向量法可求得平面和平面的法向量的夾角的余弦值，根據所求二面角為鈍二面角可得到最終結果.

（Ⅰ）取中點，連接，

在中，， 是等邊三角形

又為中點

又，，平面 平面

平面

又 為直角三角形

（Ⅱ）以為坐標原點，建立如下圖所示空間直角坐標系：

令

則，，，，

，，，

設平面的法向量為

，令，則，

又平面的一個法向量為

二面角為鈍二面角

二面角的余弦值為：