Question

已知函數(shù)f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a）．
（1）設(shè)t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范圍；
（2）求g（a）．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的定義域及平方法求值域；
（2）利用換元法將函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于t的函數(shù)，再用分類討論思想，求一元二次函數(shù)在定區(qū)間上的最大值即可．

解答：解：（1）t=

1+x

+

1-x

 的定義域是[-1，1]，
t²=2+2

1-x2

∈[2，4]，∵t＞0，
∴t∈[

2

，2]
∴t的取值范圍是[

2

，2]．
（2）由（1）知

1-x2

=

1

2

t²-1，
∴f（t）=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]
①當(dāng)a＞0時(shí)，f（t）在[

2

，2]上遞增，
∴g（a）=f（2）=2a+2-a=a+2；
②當(dāng)a=0時(shí)，f（t）=t，在[

2

，2]上遞增，
∴g（a）=2；
③當(dāng)a＜0時(shí)，分三種情況討論，
A：-

1

2

＜a＜0，-

1

a

＞2，∴g（a）=f（2）=a+2；
B：a＜-

2

2

，-

1

a

＜

2

，∴g（a）=f（

2

）=

2

；
C：-

2

2

≤a≤-

1

2

，-

1

a

∈[

2，

2]，∴g（a）=-a-

1

2a

綜上g（a）=

a+2.    (a＞- 1 2 ) -a- 1 2a . (- 2 2 ＜a＜- 1 2 ) 2 .         (a≤- 2 2 )

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域與最值．含有參數(shù)的函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題常用分類討論思想求解．