Question

已知函數f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數的底數）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數，直接讓導函數大于0求出增區間，導函數小于0求出減區間即可；
（Ⅱ）直接利用切線的斜率即為切點處的導數值以及切點是直線與曲線的共同點聯立方程即可求實數a的值；
（Ⅲ）先求出g（x）的導函數，分情況討論出函數在在區間[1，e]上的單調性，進而求得其在區間[1，e]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）因為函數f（x）=

a(x-1)

x2

，
∴f′（x）=

[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1)

x4

=

a(2-x)

x3

，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，
f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，
故函數f（x）的單調增區間為（0，2），單調減區間為（-∞，0）和（2，+∞），
（Ⅱ）設切點為（x，y），
由切線斜率k=1=

a(2-x)

x3

，⇒x³=-ax+2a，①
由x-y-1=x-

a(x-1)

x2

-1=0⇒（x²-a）（x-1）=0⇒x=1，x=±

a

．
把x=1代入①得a=1，
把x=

a

代入①得a=1，
把x=-

a

代入①得a=-1（舍去），．
故所求實數a的值為1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e^a-1，
故g（x）在區間（e^a-1，+∞）上遞增，在區間（0，e^a-1）上遞減，
①當e^a-1≤1時，即0＜a≤1時，g（x）在區間[1，e]上遞增，其最小值為g（1）=0；
②當1＜e^a-1＜e時，即0＜a＜2時，g（x）的最大值為g（e^a-1）=a-e^a-1；
③當e^a-1≥e，即a≥2時，g（x）在區間[1，e]上遞減，其最小值為g（e）=e+a-ae．

點評：本題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值以及利用導數研究函數的單調性，是高考的常考題型．