Question

已知函數f(x)=a-

1

2x-1

，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調性的情況，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由分式成立的條件可得，2^x-1≠0，從而可求函數的定義域
（2）由函數為奇函數可得f（-x）+f（x）=0對定義域內的任意x都成立，代入整理可求a
（3）利用函數的單調性的定義：設x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，通過做差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，即可判斷函數的單調性

解答：解：（1）由分式成立的條件可得，2^x-1≠0，
∴x≠0，定義域為{x|x∈R且x≠0}
（2）函數為奇函數可得f（-x）+f（x）=0對定義域內的任意x都成立
∴a-

1

2-x-1

+a-

1

2x-1

=0
∴2a=

1

2x-1

-

2x

2x-1

=-1
∴a=-

1

2

（3）設任意的x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），且x₁＞x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1

2x2-1

-

1

2x1-1

=

2x1-2x2

(2x2-1)(2x1-1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在定義域上單調遞增．

點評：本題主要考查了函數分式型函數的定義域的求解，奇函數定義的應用，及利用函數的單調性的定義判斷函數的單調性，是函數的性質的綜合應用．解題的關鍵是靈活應用函數的性質．