Question

已知函數f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導數，再由題意知在x=1處的導數值為0，列出方程求出a的值．
（2）由kx-2=2x-2+e^-x參變量分離得k=2+

1

xex

，k轉化成求g（x）=2+

1

xex

在（∞，0）的取值范圍，從而得到答案．

解答：解：（1）f′（x）=2-ae^-x，
∵f（x）在x=1處的切線平行于x軸，
∴f′（1）=0，
即2-ae^-1=0，解得a=2e，
（2）a=1時，f（x）=2x-2+e^-x，
由題意可知方程kx-2=2x-2+e^-x在（∞，0）上有解，
整理得k=2+

1

xex

，
令g（x）=2+

1

xex

，g′(x)=

-(ex+xex)

(xex)2

=-

1+x

x2ex

當x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
當x∈（-1，0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，
∴g（x）_max=g（-1）=2-e，
則g（x）≤g（-1）=2-e，故k≤2-e，
所以k的取值范圍為k≤2-e．

點評：本題考查了導數的幾何意義，同時考查了函數的零點問題，對于函數有交點問題經常利用參變量分離得方法轉化為求函數的值域．屬于中檔題．