Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實數(shù)，使得，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上遞增，在上遞減；

當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

當時，在上遞增；

當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

（2）證明見解析

【解析】

（1）對求導，分，，進行討論，可得的單調(diào)性；

（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，，設(shè)，可得，則，設(shè)，對求導，利用其單調(diào)性可證明.

解：的定義域為，

因為，

所以，

當時，令，得，令，得；

當時，則，令，得，或，

令，得；

當時，，

當時，則，令，得；

綜上所述，當時，在上遞增，在上遞減；

當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

當時，在上遞增；

當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；

（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，

此時，設(shè)，

又因為，則，

設(shè)，則

對于任意成立，

所以在上是增函數(shù)，

所以對于，有，

即，有，

因為，所以，

即，又在遞增，

所以，即.