Question

【題目】已知函數，函數，其中，是的一個極值點，且.

（1）討論的單調性

（2）求實數和a的值

（3）證明

Answer 1

【答案】（1）在區間單調遞增；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求出，在定義域內，再次求導，可得在區間上恒成立，從而可得結論；（2）由，可得，由可得，聯立解方程組可得結果；（3）由（1）知在區間單調遞增，可證明，取，可得，而，利用裂項相消法，結合放縮法可得結果.

（1）由已知可得函數的定義域為，且，

令，則有，由，可得，

可知當x變化時，的變化情況如下表：

		1
	-	0	+
		極小值

，即，可得在區間單調遞增；

（2）由已知可得函數的定義域為，且，

由已知得，即，①

由可得，，②

聯立①②，消去a，可得，③

令，則，

由（1）知，，故，在區間單調遞增，

注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，

；

（3）證明：由（1）知在區間單調遞增，

故當時，，，

可得在區間單調遞增，

因此，當時，，即，亦即，

這時，故可得，取，

可得，而，

故

.