Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當（為自然對數的底數），時，若方程有兩個不等實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）

【解析】

（1）分別在和兩種情況下，根據的正負確定的單調性；

（2）將問題轉化為當時，與有兩個不同交點的問題，通過導數可求得的單調性和最值，進而得到函數圖象，通過數形結合的方式可確定的范圍.

（1）由題意得：定義域為，，

當時，，則在上單調遞減；

當時，令，解得：，

當時，；當時，，

在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述：當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）當時，有兩個不等實根，方程可化為，

令，則，

令，則，

當時，，即<0在上單調遞減，

，且

在上有且僅有一個零點，

當時，，即；當時，，即，

在上單調遞增，在上單調遞減，

，，

由此可得圖象如下圖所示：

則當時，方程有兩個不等實數根等價于當時，與有兩個不同交點，

由圖象可知：.