Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知3S₃=4a₃-a₁，且a₂+a₃=20．
（1）求數列{a_n}的通項公式；   
（2）設b_n=a_n+n，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，由題意可得 q≠1，由3×

a1(1-q3)

1-q

=4a1q2-a₁，且a₁q+a1q2=20，求出首項和公比，即可得到數列{a_n}的通項公式．
（2）根據b_n=a_n+n=4^n-1+n，利用等比數列的前n項和公式，等差數列的前n項和公式求出 數列{b_n}的前n項和T_n 的值．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，由題意可得 q≠1．
再由 3×

a1(1-q3)

1-q

=4a1q2-a₁，且a₁q+a1q2=20，
化簡得 3（1+q+q²）=4q²-1，且 a₁=

20

q+q2

．
解得

a1=1 q=4

，故通項公式為 a_n=1×4^n-1=4^n-1．
（2）∵b_n=a_n+n=4^n-1+n，
∴數列{b_n}的前n項和為T_n =（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n）=

1×(1-4n)

1-4

+

n(n+1)

2

=

4n-1

3

+

n2+n

2

．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式，等差數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題．