Question

已知函數f(x)=ax+

b

x-1

-a(a∈R，a≠0)在x=3處的切線方程為（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求證：曲線g（x）上的任意一點處的切線與直線x=0和直線y=ax圍成的三角形面積為定值；
（2）若f（3）=3，是否存在實數m，k，使得f（x）+f（m-x）=k對于定義域內的任意x都成立；

Answer 1

分析：（1）先由題意確定a值，再確定函數g（x）的表達式，然后求導數gˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，由直線的方程求出切線方程最后利用直線的截距求出圍成的三角形面積為定值即可；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在m，k滿足題意，再利用對定義域內任意x都成立，求出m，k的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）因為f′(x)=a-

b

(x-1)2

，所以f′(3)=a-

b

4

=

2a-1

2

，b=2（2分）
又g(x)=f(x+1)=ax+

2

x

.
設g（x）圖象上任意一點P（x₀，y₀），因為g′(x)=a-

2

x2

，
所以切線方程為y-(ax0+

2

x0

)=(a-

2

x20

)(x-x0).（4分）
令x=0，得y=

4

x0

；再令y=ax，得x=2x₀，
故三角形面積S=

1

2

•|

4

x0

|•|2x0|=4，即三角形面積為定值．（6分）

（2）由f（3）=3得a=1，f(x)=x+

2

x-1

-1
假設存在m，k滿足題意，則有x-1+

2

x-1

+m-x-1+

2

m-x-1

=k，
化簡，得

2(m-2)

(x-1)(m-x-1)

=k+2-m對定義域內任意x都成立，（8分）
故只有

m-2=0 k+2-m=0.

解得

m=2 k=0.

所以存在實數m=2，k=0，使得f（x）+f（m-x）=k對定義域內的任意x都成立．（12分）．

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、根的存在性及根的個數判斷、基本不等式、直線的截距式方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．