Question

【題目】已知曲線的方程為．

（1）當時，試確定曲線的形狀及其焦點坐標；

（2）若直線交曲線于點、，線段中點的橫坐標為，試問此時曲線上是否存在不同的兩點、關于直線對稱？

（3）當為大于1的常數時，設是曲線上的一點，過點作一條斜率為的直線，又設為原點到直線的距離，分別為點與曲線兩焦點的距離，求證是一個定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】(1) 曲線是焦點在軸上的橢圓，焦點坐標為； (2) 見解析；(3)見證明

【解析】

（1）將a代入，兩邊平方并化簡，可得曲線C的方程及形狀；

（2）將代入曲線，利用PQ中點的橫坐標為，求出m，驗證判別式是否成立，可得結論．

（3）將曲線C化簡，得到焦點坐標，求得，再求得點到直線的距離，代入化簡得到定值.

（1）當時，，兩邊平方并化簡得，

∴曲線是焦點在軸上的橢圓，其長半軸長為1，短半軸長為，焦點坐標為；

（2）將代入，消去，

得，由題意，，

即，解得或（舍），此時，，，

設，，，

將代入，得，則，

的中點坐標為在對稱軸上，∴，解得，

不滿足，∴曲線上不存在不同的兩點、關于直線對稱；

（3），兩焦點坐標為、，，

，即，

∴，

用替換中的，

可得，∴，

∴．