Question

【題目】某公司生產某種產品，一條流水線年產量為件，該生產線分為兩段，流水線第一段生產的半成品的質量指標會影響第二段生產成品的等級，具體見下表：

第一段生產的半成品質量指標	或	或
第二段生產的成品為一等品概率	0.2	0.4	0.6
第二段生產的成品為二等品概率	0.3	0.3	0.3
第二段生產的成品為三等品概率	0.5	0.3	0.1

從第一道生產工序抽樣調查了件，得到頻率分布直方圖如圖：

若生產一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是元、元、元.

（Ⅰ）以各組的中間值估計為該組半成品的質量指標，估算流水線第一段生產的半成品質量指標的平均值；

（Ⅱ）將頻率估計為概率，試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤；

（Ⅲ）現(xiàn)在市面上有一種設備可以安裝到流水線第一段，價格是萬元，使用壽命是年，安裝這種設備后，流水線第一段半成品的質量指標服從正態(tài)分布，且不影響產量.請你幫該公司作出決策，是否要購買該設備？說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：，，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）萬元；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）首先根據(jù)頻率分布直方圖確定各組的頻率及中間值，再根據(jù)樣本平均數(shù)的計算公式計算得到平均數(shù)；（Ⅱ）首先確定隨機變量的所有可能取值，再根據(jù)獨立事件的概率公式求出分布列，最后利用數(shù)學期望公式求的數(shù)學期望；（Ⅲ）首先根據(jù)正態(tài)分布的性質確定好等，然后類似第二問求出隨機變量的分布列及數(shù)學期望，最后根據(jù)隨機變量的數(shù)學期望的大小作決策.

（Ⅰ）平均值為： .

（Ⅱ）由頻率直方圖，第一段生產半成品質量指標或 ，

或 ，，

設生產一件產品的利潤為元，則

，

，

，

所以生產一件成品的平均利潤是元，

所以一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是萬元.

（Ⅲ），

設引入該設備后生產一件成品利潤為元，則

，

，

，

所以引入該設備后生產一件成品平均利潤為

元，

所以引入該設備后一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是萬元，

增加收入萬元，

綜上，應該引入該設備.