Question

已知函數f(x)=

ax

x2+b

，在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）m滿足什么條件時，區間（m，2m+1）為函數f（x）的單調增區間？
（Ⅲ）設直線l為曲線f(x)=

ax

x2+b

的切線，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數f（x）的導數，由函數在x=1處取得極值，知當x=1時導數等于0，又因為極值為2，所以當x=2時函數值等于2，這樣就可求出a，b的值．
（Ⅱ）要使區間（m，2m+1）為函數f（x）的單調增區間，則區間（m，2m+1）為函數f（x）的增區間的子區間，先利用導數，求出函數f（x）的單調增區間，再比較（m，2m+1）區間端點與函數f（x）的單調增區間區間端點的大小即可．
（Ⅲ）因為曲線的切線的斜率就是函數在切點處的導數，所以要求切線斜率的范圍，就是求曲線在切點處的導數的范圍．求導，在借助二次函數求出范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）已知函數f（x）=

ax

x2+b

，∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．
又函數f（x）在x=1處取得極值2，∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1.

當a=4，b=1，∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

，
當-1＜x＜1時，f'（x）＞0，x＞1時，f'（x）＜0，∴f（x）在x=1處取得極值．∴f(x)=

4x

x2+1

．
（Ⅱ）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=0⇒x=±1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值-2	↗	極大值2	↘

所以f(x)=

4x

x2+1

的單調增區間為[-1，1]．
若（m，2m+1）為函數f（x）的單調增區間，則有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0．
即m∈（-1，0]時，（m，2m+1）為函數f（x）的單調增區間．
（Ⅲ）∵f(x)=

4x

x2+1

，∴f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

．
設切點為P（x₀，y₀），則直線l的斜率為k=f′(x0)=

4(x02+1)-8x02

(x02+1)2

=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]．
令

1

x02+1

=t，  t∈(0，  1]，則直線l的斜率k=4（2t²-t），t∈（0，1]，∴k∈[-

1

2

，  4]．

點評：本題考查了導數應用求極值，單調區間，以及導數的幾何意義的應用．