Question

已知函數f(x)=

a

•

b

，其中

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，-2cosx)．
（1）求函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的單調遞增區間和值域；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C 的對邊，f（A）=-1，且b=1△ABC的面積S=

3

，求邊a的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，二倍角公式兩角差的余弦函數化簡函數的表達式，然后結合余弦函數的單調增區間求函數的單調遞增區間，確定函數 在[0，

π

2

]上的單調增區間，單調減區間，然后求出函數的最大值最小值，即可確定函數的值域．
（2））由于f（A）=-1，求得A=

π

3

又S=

1

2

×1×c×sin600=

3

求得c=4最后由余弦定理得a值即可．

解答：解：（1）f(x)=2cosx•cosx-2

3

sinx•cosx=1-(

3

sin2x-cos2x)=1-2sin(2x-

π

6

)（2分）
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π，k∈Z，
又[0，

π

2

]∴單調增區間為[

π

3

，

π

2

]．（4分）
由-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1∴-1≤f（x）≤2∴f（x）∈[-1，2]（6分）
（2）∵f（A）=-1，∴A=

π

3

，（8分）
又S=

1

2

×1×c×sin600=

3

，∴c=4（10分）
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=13a=

13

（12分）

點評：本題是基礎題，考查向量數量積的應用，三角函數的化簡求值，單調區間的求法，最值的求法，考查計算能力，注意函數值域的確定中，區間的討論，單調性的應用是解題的易錯點．