Question

【題目】已知函數（）.

（Ⅰ）若函數有零點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若對任意的，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）由函數有零點得：關于的方程（）有解

令，則，于是有關于的方程有正根，設，對m進行討論即可；

（2）由題意可得，，變形為：，進行分類討論化簡整理可得.

詳解：（1）由函數有零點得：關于的方程（）有解

令，則

于是有，關于的方程有正根

設，則函數的圖象恒過點且對稱軸為

當時，的圖象開口向下，故恰有一正數解

當時，，不合題意

當時，的圖象開口向上，故有正數解的條件是

解得：

綜上可知，實數的取值范圍為.

（2）由“當時，都有”得：

，②

∵，故②變形為：

當時，不等式②簡化為，此時實數

當時，有

∴

∴，

∵當時，，

當且僅當時取等號

∴

綜上可知，實數的取值范圍.