Question

【題目】已知動圓過點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切.

（I）求動圓的圓心的軌跡方程；

（II）設(shè)直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點(diǎn)，D，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 滿足條件的直線共有9條．

【解析】試題分析：（I）由|AM|=4<R得點(diǎn)A（-2，0）在圓M內(nèi)，設(shè)動圓C的半徑為r，依題意得r=|CA|，且|CM|=R-r，|CM+|CA|=8>|AM|，由定義得圓心C的軌跡是中心在原點(diǎn)，以A，M兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系解答即可．
（II）直線l： 與聯(lián)立得，同理得，又因?yàn)?/span>，所以，即，又其中k，m∈Z即可求出k，m的數(shù)值．

試題解析：

（1）圓， 圓心的坐標(biāo)為，半徑.

∵，∴點(diǎn)在圓內(nèi).

設(shè)動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.

∴圓心的軌跡是中心在原點(diǎn)，以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓,

設(shè)其方程為, 則.∴.

∴所求動圓的圓心的軌跡方程為.

(2)由 消去化簡整理得： .

設(shè)， ，則.

. ①

由 消去化簡整理得： .

設(shè)，則,

. ②

∵，∴，即，

∴.∴或.解得或.

當(dāng)時,由①、②得

∵Z,∴的值為 ， ， ;

當(dāng)，由①、②得 ，

∵Z,∴.

∴滿足條件的直線共有9條．