Question

【題目】已知圓，直線。

（Ⅰ）求證：直線與圓C恒有兩個交點；

（Ⅱ）求出直線被圓C截得的最短弦長，并求出截得最短弦長時的的值；

（Ⅲ）設直線與圓C的兩個交點為M，N，且（點C為圓C的圓心），求直線的方程。

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) ， (3)

【解析】試題分析：（1）直線可化為，證明直線過圓的內(nèi)部定點，即可證明結(jié)論；(2)弦的中點與圓心連線與弦垂直時弦長最小，利用勾股定理可得結(jié)果；(3) 設與的夾角為，由，可得，從而，可得點 到直線的距離為 ，利用點到直線距離公式求出列方程求得，從而可得直線的方程.

試題解析：（1）直線可化為，因此直線過定點A（2，-1），

顯然該點A在圓的內(nèi)部

所以直線與圓C恒有兩個交點。

(2)圓心C（1，-2），半徑

所以弦長

此時

所以。

(3)設與的夾角為，因為

所以，從而，所以點C到直線的距離為1

即，所以

所以直線的方程是。