Question

已知函數y=log2(x2-2)的定義域是[a，b]，值域是[1，log₂14]，求實數a，b的值．

Answer 1

分析：易求函數的定義域，可知函數的單調性，分①a＜b＜0，②a＜0＜b，且|a|＞|b|，③a＜0＜b，且|a|＜|b|，④0＜a＜b四種情況進行討論，根據函數的單調性可求得函數的最值，分別令其等于1，log₂14可求得a，b的值．

解答：解：要使函數y=log2(x2-2)有意義，須滿足x²-2＞0，解得x∈（-∞，-

2

）∪（

2

，+∞），
可知y=log2(x2-2)在（-∞，-

2

）上遞減，在（

2

，+∞）上遞增，
∵函數的值域為[1，log₂14]，
∴①當a＜b＜0時，log2(a2-2)=log₂14，log2(b2-2)=1，解得：a=-4，b=-2；
②當a＜0＜b，且|a|＞|b|時，log2(a2-2)=log₂14，log2(b2-2)=1，解得：a=-4，b=2；
③當a＜0＜b，且|a|＜|b|時，log2(a2-2)=1，log2(b2-2)=log₂14，解得a=-2，b=4；
④當0＜a＜b時，log2(a2-2)=1，log2(b2-2)=log₂14，解得：a=2，b=4．

點評：本題考查函數的定義域、值域，考查對數函數的單調性，考查分類討論思想．