Question

已知二項式（

x

2

+

1

2 x

)

n

(n∈N*)ⁿ（n∈N^*）展開式中，前三項的二項式系數和是56，則展開式中的常數項為______．

Answer 1

由題意可得前三項的二項式系數和是

C

0n

+

C

1n

+

C

2n

=56，即 1+n+

n(n-1)

2

=56，
解得 n=10．
由于二項式（

x

2

+

1

2 x

)

n

(n∈N*)ⁿ（n∈N^*）展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r10

•x^20-2r•(

1

2

)r•x-

r

2

=(

1

2

)r•

C

r10

•x20-

5r

2

．
令20-

5r

2

=0，求得 r=8，故展開式中的常數項為 (

1

2

)8•

C

810

=

45

256

，
故答案為

45

256

．