Question

設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件：（1）對(duì)正數(shù)x、y都有；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）。則
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）如果不等式成立，求x的取值范圍．
（Ⅲ）如果存在正數(shù)k，使不等式有解，求正數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）2；（2）；（3）。

解：（Ⅰ）令易得．而
且，得．
（Ⅱ）設(shè)，由條件（1）可得，因，由（2）知，所以，即在上是遞減的函數(shù)．
由條件（1）及（Ⅰ）的結(jié)果得：其中，由函數(shù)在上的遞減性，可得：，由此解得x的范圍是．
（Ⅲ）同上理，不等式可化為且，
得，此不等式有解，等價(jià)于，在的范圍內(nèi)，易知，故即為所求范圍．