Question

（12分）已知函數f（x）＝lnx－（a≠0）
（1）若a＝3，b＝－2，求f（x）在［，e］的最大值；
（2）若b＝2，f（x）存在單調遞減區間，求a的范圍．

Answer 1

(1)當且僅當x=1，f(x)_max=f(1)=a-b=-+2= ；
(2) a的范圍(-1,0)(0,+)

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解函數的最值和函數單調性的逆向運用。
（1）由于=，然后分析當a＝3，b＝－2,時的導數，分別為正和負的取值范圍，得到單調性，然后求解極值，和最值。
（2）因為f(x)存在遞減區間，f′(x)<0有解那么即等價于ax²+2x-1>0有x>0的解，利用對參數a討論得到范圍。
解：(1) =-ax-b=-3x+2==-
 當時  f′(x)0；   1<xe     f′(x)<0
當且僅當x=1，f(x)_max=f(1)=a-b=-+2=……5分
(2) = -ax-2=
f(x)存在遞減區間，f′(x)<0有解
ax²+2x-1>0有x>0的解…………7分
a>0,顯然滿足…………9分
a<0時，則△=4+4a>0且ax²+2x-1=0至少有一個正根，此時-1<a<0……11分
a的范圍(-1,0)(0,+) …………12分