Question

（本小題滿分14分）
已知函數，其中常數．
（Ⅰ）當時，求函數的極值點；
（Ⅱ）令，若函數在區間上單調遞增，求的取值范圍；
（Ⅲ）設定義在D上的函數在點處的切線方程為當時，若在D內恒成立，則稱P為函數的“特殊點”，請你探究當時，函數是否存在“特殊點”，若存在，請最少求出一個“特殊點”的橫坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 為函數的極大值點，為函數的極小值點.
(Ⅱ) ；（Ⅲ）是一個特殊點的橫坐標.

本試題主要是考查了導數在研究函數的中的運用。確定函數的單調性，以及函數的極值點，和函數的最值問題的綜合運用。
（1）由于當a=4時，解析式確定，求解導數，判定單調性，可以知道函數的 極值點的問題。
（2）因為令，若函數在區間上單調遞增，說明了函數F(x)在給定區間的導數恒大于等于零，來分離參數得到取值范圍。
（3）根據新的定義“特殊點”的理解，然后給定參數a的值為4，結合第一問的結論，分析可知是否有滿足題意的特殊點，主要是借助于導數分析單調性得到。
(Ⅰ)當時，=
當時，，即在上單調遞增；
當時，，即在上單調遞減，
所以為函數的極大值點，為函數的極小值點.        ……4分
(Ⅱ)，若函數在區間上單調遞增，只需滿足對恒成立                     ………………6分
即對恒成立
所以                                      ………………………8分
（Ⅲ）由題意：當時，，
則在點P處切線的斜率
所以
             ………………………10分
令，
則
當時，在上單調遞減.時，從而有時，
當時，在上單調遞減，從而有時，                            ………………………12分
在上不存在“特殊點”.當時，
在上是增函數，故是一個特殊點的橫坐標.