Question

【題目】已知函數，

（1）若時，求證：當時，；

（2）若函數有4個零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）構造函數，只需證明在上的最小值大于0即可；

（2）函數有4個零點，則有4個單調區間，即其導函數有3個零點，令，則函數有2個零點，求得此時a的范圍，再數形結合即可得到答案.

（1）當時，有，

令，即，

則

令，則，當時，，

所以在區間上是增函數，，

所以，在區間上是增函數，

所以，故.

（2）因為函數有4個零點，所以有4個單調區間，即其導函數有3個零點，顯然是函數的一個零點，

令，則函數有2個零點，故.

由于，令，得，

故，故.

又，，只需證明，

令，，則，

所以在上單調遞增，，所以，即，

所以存在，使得，所以有3個零點，1，.

x				1
		0		0		0
	遞減	極小	遞增	極大	遞減	極小	遞增

所以要有4個零點，只需，即，

因為此時，，

，

設（），，所以在上

，

所以，即，又

，

綜上，當且僅當時，函數有4個零點.