Question

【題目】設函數，其中是自然對數的底數.

（Ⅰ）若在上存在兩個極值點，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，函數與函數的圖象交于，且線段的中點為，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）依題意在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，由參變分類可得，令，利用導數研究的單調性、極值，從而得到參數的取值范圍；

（Ⅱ）由題解得，，要證成立，只需證：，即：，只需證：，設，即證：，再分別證明，即可；

解：（Ⅰ）由題意可知，，

在上存在兩個極值點，等價于在有兩個不等實根，

由可得，，令，

則，令，

可得，當時，，

所以在上單調遞減，且

當時，單調遞增；

當時，單調遞減；

所以是的極大值也是最大值，又當，當大于0趨向與0，

要使在有兩個根，則，

所以的取值范圍為；

（Ⅱ）由題解得，，要證成立，

只需證：

即：，

只需證：

設，即證：

要證，只需證：

令，則

在上為增函數

，即成立；

要證，只需證明：

令，則

在上為減函數，，即成立

成立，所以成立.