Question

【題目】設拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，準線為l，AB為過焦點F且垂直于x軸的拋物線C的弦，已知以AB為直徑的圓經(jīng)過點(-1，0).

（1）求p的值及該圓的方程；

（2）設M為l上任意一點，過點M作C的切線，切點為N，證明：MF⊥NF.

Answer 1

【答案】（1）p=2. (x-1)2+y2=4.（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意知，點的坐標為(，±p)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列出關于的方程，求出，求得圓心F和直徑即可；

（2）易知直線MN的斜率存在且不為0，設M(-1，y0)，MN的方程為y=k(x+1)+y0與拋物線方程聯(lián)立得到關于的一元二次方程，由判別式得到的關系式，將的表達式代入關于的一元二次方程和拋物線方程得到點的坐標，利用平面向量垂直的坐標表示求解即可.

（1）由題意知，點的坐標為(，±p)，

因為以AB為直徑的圓經(jīng)過點(-1，0)，

所以p=-(-1)，解得p=2，

所以所求圓的圓心為直徑AB的中點F(1，0)，直徑，

所以所求圓的方程為(x-1)2+y2=4.

（2）證明：易知直線MN的斜率存在且不為0，

設M(-1，y0)，MN的方程為y=k(x+1)+y0，代入C的方程，

得ky2-4y+4(y0+k)=0，

令Δ=16-16k(y0+k)=0，得y0+k=，

所以ky2-4y+4(y0+k)==0，解得y=，

將y=代入C的方程，得x=，即N點的坐標為().，

所以=(-2，y0)，=(-1，)，

·=2-+y0·=2-+(-k)·=0，

故MF⊥NF.