Question

【題目】已知橢圓： 的焦點的坐標為， 的坐標為，且經過點， 軸.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過的直線與橢圓交于兩不同點，在橢圓上是否存在一點，使四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由的坐標為，且經過點， 軸，得，解得的值即可得橢圓的方程；（2）假設存在符合條件的點M（x0，y0），當斜率不存在，推出矛盾不成立，設直線l的方程為，與橢圓的方程聯立得到根與系數關系，利用平行四邊形的對角線相互平分的性質可得點M的坐標，代入橢圓方程解得即可．

試題解析：

（1），解得.所以橢圓的方程.

（2）假設存在點，

當斜率不存在，，，不成立；

當斜率存在，設為，設直線與聯立得.

.

，則的中點坐標為

AB與的中點重合，

得 ，

代入橢圓的方程得.解得.

存在符合條件的直線的方程為：.