Question

下列幾個(gè)命題：
①方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則a＜0；
②函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
③設(shè)函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)镽，則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于y軸對稱；
④一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是m，則m的值不可能是1．
其中正確的有

①④

．

Answer 1

分析：①利用一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系判斷．②利用函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)判斷．③利用函數(shù)圖象的對稱性判斷．④利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：①要使方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，可兩根之積為負(fù)值，即a＜0，∴①正確．
②要使函數(shù)有意義，則÷

x2-1≥0 1-x2≤0

，即x²=1，解得x=±1，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧1，-1}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時(shí)f（x）=0，
∴f（x）為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，∴②錯(cuò)誤．
③∵y=f（1-x）=f[-（x-1）]，∴令t=x-1，則y=f（1-x）=f（-t），y=f（x-1）=f（t），則y=f（t）和y=f（-t）關(guān)于t=0對稱，由t=x-1=0，解得x=1，
即函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于x=1軸對稱，∴③錯(cuò)誤．
④作出函數(shù)y=|3-x²|的圖象如圖，由圖象可知，
當(dāng)a＞3時(shí)，兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，
當(dāng)a=3時(shí)，兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，
當(dāng)0＜a＜3時(shí)，兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，
當(dāng)a=0時(shí)，兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，
當(dāng)a＜0時(shí)，兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)，
故m不可能是1個(gè)，∴④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．