Question

已知函數f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2．
（I） 求函數f（x）的表達式；
（II）若f（x）的定義域、值域均為[m，n]，（0≤m＜n）試求所有滿足條件的區間[m，n]；
（Ⅲ）若直線l與f(x)=

ax

x2+b

的圖象切于點P（x₀，y₀），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導函數f/(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，利用函數在x=1處取得極值2，可得

f/(1)=0 f(1)=2

，從而得解．
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上為增函數，在[1，+∞]上為減函數，分類討論：0≤m＜n≤1；1≤m＜n；0≤m＜1＜n，從而可求滿足條件的區間．
（Ⅲ）求導函數f/(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x2-1)

(1+x2)2

，由條件知，過f（x）的圖形上一點P的切線l的斜率k為：k=f/(x0)=

4(1-x02)

(1+x02)2

=4×

-1-x02+2

(1+x02)2

=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]，進而尅去直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（I）因f/(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

…（2分）
而函數f(x)=

ax

x2+b

在x=1處取得極值2
所以 

f/(1)=0 f(1)=2

⇒

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

⇒

a=4 b=1

所以 f(x)=

4x

1+x2

為所求                             …（4分）
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上為增函數，在[1，+∞]上為減函數，
（1）若0≤m＜n≤1，則

f(m)=m f(n)=n

，無解．…（8分）
（2）若1≤m＜n，則

f(m)=n f(n)=m

，無解．…（10分）
（3）若0≤m＜1＜n，則n=2，而f(2)=

8

5

＞1，所以

0≤m≤1 f(m)=m

，解得m=0．
綜合知，滿足條件的區間為[0，2]．…（12分）
（Ⅲ）f/(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x2-1)

(1+x2)2

由條件知，過f（x）的圖形上一點P的切線l的斜率k為：k=f/(x0)=

4(1-x02)

(1+x02)2

=4×

-1-x02+2

(1+x02)2

=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]…（15分）
令t=

1

1+x02

，則t∈（0，1]
此時，k=8(t2-

1

2

t)=8(t-

1

4

)2-

1

2

根據二次函數k=8(t-

1

4

)2-

1

2

的圖象性質知：
當t=

1

4

時，k min=-

1

2

，
當t=1時，k_max=4．
所以，直線l的斜率k的取值范圍是[-

1

2

 ， 4 ]．         …（18分）

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，同時考查了導數的幾何意義．