Question

已知函數f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，且函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，又f(

3

)=2-

3

，g（1）=0．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）是否存在實數m，使得命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g(

m-1

4

)＞

3

4

滿足復合命題p且q為真命題？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）依題意函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱得：f（x）與g（x）互為反函數，利用反函數圖象間的對稱性列出關于a，b方程求出它們的值，最后利用f（x）在[0，+∞）上是減函數即可求得f（x）的值域；
（II）對于存在性問題，可先假設存在，由（Ⅰ）知f（x）是[0，+∞）上的減函數，g（x）是（0，1]上的減函數，欲使得復合命題p且q為真命題，必須p且q都為真命題，據此列出不等關系，解之，如果不出現矛盾則存在，否則不存在．

解答：解：（Ⅰ）依題意f（x）與g（x）互為反函數，
由g（1）=0得f（0）=1∴

f(0)=b=1 f( 3 )=a 3 +2b=2- 3

，
得

a=-1 b=1

∴f(x)=-x+

1+x2

=

1

1+x2 +x

（3分）
故f（x）在[0，+∞）上是減函數∴0＜f(x)=

1

1+x2 +x

≤f(0)=1
即f（x）的值域為（0，1]．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）是[0，+∞）上的減函數，g（x）是（0，1]上的減函數，
又f(

3

4

)=

1

2

∴g(

1

2

)=

3

4

∴g(

m-1

4

)＞g(

1

2

)（9分）
故

m2-m＞3m-4≥0 0＜ m-1 4 ＜ 1 2 ≤1

解得

4

3

≤m＜3且m≠2
因此，存在實數m，使得命題p且q為真命題，且m的取值范圍為：

4

3

≤m＜3且m≠2．（12分）

點評：本題主要考查了反函數、復合命題的真假函數的值域及存在性問題．求反函數，一般應分以下步驟：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交換x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函數的定義域（一般可通過求原函數的值域的方法求反函數的定義域）．