Question

已知函數f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

，
①求函數f（x）的解析式；
②判斷函數f（x）在（-1，1）上的單調性并用定義證明；
③解關于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

Answer 1

分析：①直接根據f（0）=0以及f(

1

2

)=

2

5

，得到關于a，b的兩個等式，求出a，b的值即可得到函數f（x）的解析式；
②直接利用單調性的定義證明即可得到證明其單調性；
③令log₂^x=t，直接利用其為奇函數把不等式轉化為f（t-1）＜f（-t）；再根據其單調性即可得到不等式的解集．

解答：解：①依題意得

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

，即

b=0 1 2 a+b 1+ 1 4 = 2 5

，解得：

a=1 b=0

．
∴f（x）=

x

1+x2

．
②f（x）在（-1，1）上是增函數，
證明如下：任取-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函數．
③令log₂^x=t，則不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，
轉化為f（t-1）+f（t）＜0⇒f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
∵f（x）在（-1，1）上是增函數；
∴-1＜t-1＜-t＜1⇒0＜t＜

1

2

．
∴0＜log₂^x＜

1

2

⇒1＜x＜

2

．
∴不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）的解集為（1，

2

）．

點評：本題主要考察對數函數圖象與性質的綜合應用．解決問題的關鍵在于根據奇函數定義域內有0得到f（0）=0．