Question

已知函數f(x)=

a2-x2

x-2a

（a＞0）
（1）證明：f（x）既不是奇函數又不是偶函數．
（2）求f（x）的值域．
（3）若對于f（x）定義域內的任意實數x₁，都能構造出一個無窮數列{x_n}，
使其滿足條件x_n+1=f（x_n）（n∈N^*），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(

a

2

)=-

3

3

，f(-

a

2

)=-

3

5

，知f(

a

2

)≠f(-

a

2

)，且f(

a

2

)≠-f(-

a

2

)，由此能夠證明f（x）既不是奇函數又不是偶函數．
（2）令t=x-2a，t∈[-3a，-a]，f(t)=

-t2-4at-3a2

t

=-

-1- 4a t - 3a2 t2

，再由函數的單調性能夠求出函數的值域．
（3）由題意可知，函數f（x）的值域B應為定義域A的子集，即B⊆A．由此能求出a的取值范圍．

解答：（1）證明：函數的定義域為[-a，a]
∵f(

a

2

)=-

3

3

，
f(-

a

2

)=-

3

5

------（2分）
f(

a

2

)≠f(-

a

2

)，
且f(

a

2

)≠-f(-

a

2

)
∴f（x）既不是奇函數又不是偶函數；----（4分）
（2）解：令t=x-2a，t∈[-3a，-a]，
f(t)=

-t2-4at-3a2

t

=-

-1- 4a t - 3a2 t2

------（6分）
令

a

t

=k，-1≤k≤-

1

3

，
則f（k）在[-1，-

2

3

]遞增，在[-

2

3

，-

1

3

]遞減--（8分）
所以函數的值域為[-

3

3

，0]-----（10分）
（3）解：由題意可知，
函數f（x）的值域B應為定義域A的子集，
即B⊆A------（12分）
∴a的取值范圍為[

3

3

，+∞)------（14分）

點評：本題考查數與函數的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．