Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)和S_n＞0（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)bn=an+2-

3

2

an+1，記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試比較S_n與T_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列通式a_n=a₁q^（n-1），根據(jù)S₁＞0可知a₁大于零，當(dāng)q不等于1時(shí)，根據(jù)s_n=

a1(1-qn-1)

1-q

＞0，進(jìn)而可推知1-qⁿ＞0且1-q＞0，或1-qⁿ＜0且1-q＜0，進(jìn)而求得q的范圍，當(dāng)q=1時(shí)仍滿足條件，進(jìn)而得到答案．
（Ⅱ）把a(bǔ)_n的通項(xiàng)公式代入，可得a_n和b_n的關(guān)系，進(jìn)而可知T_n和S_n的關(guān)系，再根據(jù)（1）中q的范圍來判斷S_n與T_n的大小．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列通式a_n=a₁q^（n-1）
根據(jù)S_n＞0，顯然a₁＞0，
當(dāng)q不等于1時(shí)，前n項(xiàng)和s_n=

a1(1-qn)

1-q

所以

(1-qn)

1-q

＞0 所以-1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1
當(dāng)q=1時(shí) 仍滿足條件
綜上q＞0或-1＜q＜0
（Ⅱ）∵bn=an+2-

3

2

an+1
∴b_n=an+2-

3

2

an+1
=a_nq²-

3

2

a_nq
=

1

2

a_n（2q²-3q）
∴T_n=

1

2

（2q²-3q）S_n
∴T_n-S_n=

1

2

S_n（2q²-3q-2）=

1

2

S_n（q-2）（2q+1）
又因?yàn)镾_n＞0，且-1＜q＜0或q＞0，
所以，當(dāng)-1＜q＜-

1

2

或q＞2時(shí)，T_n-S_n＞0，即T_n＞S_n；
當(dāng)-

1

2

＜q＜2且q≠0時(shí)，T_n-S_n＜0，即T_n＜S_n；
當(dāng)q=-

1

2

，或q=2時(shí)，T_n-S_n=0，即T_n=S_n．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．在解決數(shù)列比較大小的問題上，常利用到不等式的性質(zhì)來解決．