Question

已知函數f(x)=

a

•

b

，其中

a

=（2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，-2cosx)
（1）求函數f（x）在[0，π]上的單調遞增區間和最小值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（A）=-1，求

b-2c

a•cos(60°+C)

的值．

Answer 1

分析：計算向量的數量積，利用二倍角．兩角和的正弦函數化簡函數f（x）的表達式，得到一個角的一個三角函數的形式；
（1）借助正弦函數的單調增區間，求函數y=f（x）的單調遞增區間．借助正弦函數的最值，求出函數y=f（x）的最小值，以及取得最小值時x的值；
（2）通過f（A）的表達式，可求得A的值，再利用正弦定理化簡

b-2c

a•cos(60°+C)

求出表達式的值．

解答：解：（1）函數f(x)=

a

•

b

=(2cosx，

3

sinx)• (cosx，-2cosx)
=2cos2x-2

3

sinxcosx，所以

f(x)=1-2sin(2x- π 6 )， kπ+ π 3 ≤kπ+ 5 6 π，k∈Z，又∵x∈[0，π]

所以函數的單調增區間為

[ π 3 ， 5 6 π]

∴f（x）_min=1-2=-1
（2）∵f（A）=-1，
∴A=

π

3

由正弦定理可知：

b-2c

acos(600+C)

=

sinB-2sinC

sinA( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=

sin(1200-C)-2sinC

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=2．
所以

b-2c

a•cos(60°+C)

為2．

點評：本題主要考查二倍角公式、余弦定理和兩角和與差的公式的應用．高考對三角函數的考查以基礎題為主，但是這部分公式比較多不容易記憶，也為這一部分增加了難度；考查三角函數的單調性，三角函數的最值，考查計算能力，基本知識的靈活運應能力，考查轉化思想．