Question

設橢圓

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的焦點為F₁、F₂，P是橢圓上任一點，若∠F₁PF₂的最大值為

2π

3

．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設直線l與橢圓交于M、N兩點，且l與以原點為圓心，短軸長為直徑的圓相切．已知|MN|的最大值為4，求橢圓的方程和直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可知，|PF₁|+|PF₂|=2a?，由余弦定理可得，COS∠F₁PF₂=

PF12+ PF 2 2 - F1F22

2PF1•PF2

，代入可求離心率
（2）由（I）可得e=

3

2

，從而可得橢圓方程為y²+4x²=4b²，該直線l：y=kx+m．由直線l與圓x²+y²=b²相切，可得m²=b²（1+k²），聯立方程

y2+4x2=4b2 y=kx+m

可得（4+k²）x²+2kmx+m²-4b²=0而|MN|=4

3

b•

1

1+k2 + 3 1+k2

≤2b?可求

解答：解：∵橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）?
（1）|PF₁|+|PF₂|=2a?
cosF₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4c2

2|PF1|•|PF2|

-1＞1-2e2=-

1

2

∴e=

3

2

（2）∵e=

3

2

，∴a²=4b²．?
∴橢圓方程為y²+4x²=4b²?
該直線l：y=kx+m．?
∵直線l與圓x²+y²=b²相切，∴m²=b²（1+k²）①?
從

y2+4x2=4b2 y=kx+m

得（4+k²）x²+2kmx+m²-4b²=0
∵|MN|=4

3

b•

1

1+k2 + 3 1+k2

≤2b?
當且僅當k=±

2

時取等號．
∴l：y=±

2

x+2

3

此時橢圓方程為：

x2

4

+

y2

16

=1．

點評：本題主要考查橢圓的性質的簡單運用，及直線與橢圓的位置關系的應用，考查了考試的基本運算的能力，屬于綜合性試題．