Question

設橢圓M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x²-y²=1的離心率互為倒數，且內切于圓x²+y²=4．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線y=

2

x+m交橢圓于A、B兩點，橢圓上一點P(1，

2

)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于雙曲線的離心率為

2

，可得橢圓的離心率，又圓x²+y²=4的直徑為4，則2a=4，從而列出關于a，b，c的方程求得a，b，c．最后寫出橢圓M的方程；
（2）直線AB的直線方程：y=

2

x+m．將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得△PAB面積的最大值，從而解決問題．

解答：解：（1）雙曲線的離心率為

2

，則橢圓的離心率為e=

c

a

=

2

2

（2分）圓x²+y²=4的直徑為4，則2a=4，
得：

2a=4 c a = 2 2 b2=a2-c2

?

a=2 c= 2 b= 2

所求橢圓M的方程為

y2

4

+

x2

2

=1．（6分）
（2）直線AB的直線方程：y=

2

x+m．
由

y=  2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=(2

2

m)2-16(m2-4) ＞0，得-2

2

＜m＜2

2

∵x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

．
∴|AB|=

1+2

|x1-x2|=

3

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

•

1 2 m2-m2+4

=

3

4- m2 2

（9分）
又P到AB的距離為d=

|m|

3

．
則S△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

3

4- m2 2

|m|

3

=

1

2

m2(4- m2 2 )

=

1

2 2

m2(8-m2)

≤

1

2 2

•

m2+(8-m2)

2

=

2

當且僅當m=±2∈(-2

2

，2

2

)取等號
∴(S△ABC)max=

2

．　　　　（12分）

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程問題．當研究橢圓和直線的關系的問題時，常可利用聯立方程，進而利用韋達定理來解決．