Question

設橢圓M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

7

4

，點A（0，a），B（-b，0），原點O到直線AB的距離為

12

5

，P是橢圓的右頂點，直線l：x=my-n與橢圓M相交于C，D兩點，且

PC

⊥

PD

．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）求證：直線l的橫截距n為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

7

16

，得a=

4

3

b，由點A（0，a），B（-b，0）知直線AB的方程為

x

-b

+

y

a

=1，再由點O到直線AB的距離

|0+0+4b|

| 42+32

=

4

5

b=

12

5

，知b=3，由此能夠得到橢圓M的方程．
（Ⅱ）P（3，0），設C（x₁，y₁），（x₂，y₂），將x=my+n代入

y2

16

+

x2

9

=1，得（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0，則y₁+y₂=

-32mn

16m2+9

，y₁y₂=

16n2-144

16m2+9

．由

PC

•

PD

=0，知（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0，由x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn，知（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，由此能夠證明直線l的橫截距n為定值．

解答：解：（Ⅰ）由e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

7

16

，得a=

4

3

b （2分）
由點A（0，a），B（-b，0）知直線AB的方程為

x

-b

+

y

a

=1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原點O到直線AB的距離

|0+0+4b|

| 42+32

=

4

5

b=

12

5

，∴b=3，（4分）
∴b²=9，a²=16
從而橢圓M的方程為：

y2

16

+

x2

9

=1．（5分）
（Ⅱ）易知P（3，0），設C（x₁，y₁），（x₂，y₂），將x=my+n代入

y2

16

+

x2

9

=1化簡整理得
（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0
則y₁+y₂=

-32mn

16m2+9

，y₁y₂=

16n2-144

16m2+9

．（8分）
而

PC

•

PD

=0?（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0即（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0
又x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn
∴（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，
整理得（m²+1）y₁y₂+m（n-3）（y₁+y₂）+（n-3）²=0 （10分）
即（m²+1）×

16n2-144

16m2+9

+m（n-3）×

-32mn

16m2+9

+（n-3）²=0
易知n≠3，∴16（m²+1）（n+3）-32m²n+（16m²+9）（n-3）=0
展開得25n+21=0?n=-

21

25

∴直線l的橫截距n為定值 （12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線l的橫截距n為定值的證明，解題時要注意橢圓性質的靈活運用和合理地進行等價轉化．